9. В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках А и В. На одной из дуг этой окружности выбрали точку С так, как показано на рисунке. Найдите величину угла АСВ.

Решение:

Угол, вершина которого находится в центре окружности, опирается на дугу, заключенную между точками касания А и В. Если угол, в который вписана окружность, равен 70°, то центральный угол, опирающийся на дугу АВ, равен \( 180° - 70° = 110° \) (так как сумма углов четырехугольника, образованного центром окружности и точками касания, равна 360°, и два угла прямые).

Однако, на рисунке показано, что точка С находится на большей дуге АВ. Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу АВ.

Если 70° — это угол, в который вписана окружность, то угол, опирающийся на меньшую дугу АВ, будет равен \( \frac{1}{2} \) от угла, опирающегося на большую дугу.

Если предположить, что 70° — это угол, который опирается на меньшую дугу, то вписанный угол ACB, опирающийся на эту же дугу, будет равен \( \frac{70°}{2} = 35° \).

Если 70° — это угол, в который вписана окружность, то центральный угол, опирающийся на дугу АВ, равен \( 2 \times (90° - 35°) = 2 \times 55° = 110° \) — это угол, образованный радиусами к точкам касания.

Угол, в который вписана окружность, равен 70°. Пусть вершины этого угла O1 и O2. Пусть центр окружности O. Пусть точки касания A и B. Тогда quadrilateral OAO1B имеет углы \( \angle O1 = 70° \), \( \angle OAO1 = 90° \), \( \angle OBO1 = 90° \). Сумма углов четырехугольника 360°, значит \( \angle AOB = 360° - 90° - 90° - 70° = 110° \).

Этот угол \( \angle AOB = 110° \) является центральным углом, опирающимся на меньшую дугу АВ.

Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу АВ. Следовательно, \( \angle ACB = \frac{110°}{2} = 55° \).

Ответ: 55.