9. Жизненный цикл товара описывается функцией f(x) = x³ – 3x². Найдите точки экстремумов и экстремумы функции.

Решение:

Для нахождения точек экстремумов и экстремумов функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 \) найдём её производную и приравняем к нулю.

\( f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x \).

Приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 - 6x = 0 \]

\[ 3x(x - 2) = 0 \]

Отсюда получаем критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).

Теперь определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума, используя вторую производную.

Найдем вторую производную:

\( f''(x) = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6 \).

Проверим знаки второй производной в критических точках:

• \( f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \). Так как \( f''(0) < 0 \), то в точке \( x = 0 \) функция имеет локальный максимум.
• \( f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 \). Так как \( f''(2) > 0 \), то в точке \( x = 2 \) функция имеет локальный минимум.

Найдем значения экстремумов:

• Максимум: \( f(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0 \).
• Минимум: \( f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 3(4) = 8 - 12 = -4 \).

Ответ: Точки экстремумов: \( x=0 \) (максимум), \( x=2 \) (минимум). Экстремумы: \( f_{max}=0 \), \( f_{min}=-4 \).