979. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Обозначим четырёхугольник \(ABCD\), а середины сторон \(AB, BC, CD, DA\) — соответственно \(M,N,P,Q\). Рассмотрим отрезки \(MP\) и \(NQ\).

1. Пусть радиус-векторы вершин равны \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c,\mathbf d\). Тогда середины имеют радиус-векторы \(\mathbf m=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}\), \(\mathbf p=\frac{\mathbf c+\mathbf d}{2}\), \(\mathbf n=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}\), \(\mathbf q=\frac{\mathbf d+\mathbf a}{2}\).
2. Середина отрезка \(MP\) имеет радиус-вектор \(\frac{\mathbf m+\mathbf p}{2}=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c+\mathbf d}{4}\).
3. Середина отрезка \(NQ\) имеет тот же радиус-вектор: \(\frac{\mathbf n+\mathbf q}{2}=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c+\mathbf d}{4}\).

Значит, у отрезков \(MP\) и \(NQ\) общая середина. Поэтому, если они пересекаются, точка пересечения делит каждый из них пополам.