980. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 69) с помощью векторного метода.

Пусть \(ABC\) — треугольник, а \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Докажем, что средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Обозначим радиус-векторы вершин через \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\). Тогда \(\mathbf m=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}\), \(\mathbf n=\frac{\mathbf a+\mathbf c}{2}\).
2. Вектор \(\overrightarrow{MN}=\mathbf n-\mathbf m=\frac{\mathbf c-\mathbf b}{2}=\frac12\overrightarrow{BC}\).
3. Значит, векторы \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{BC}\) сонаправлены, а длина \(MN\) вдвое меньше длины \(BC\).

Итак, средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.