7. а) (2 балла) Докажите, что выражение а(а + 2) – (b + 2)(2-b) + 6 положительно при любых значениях а и b. б) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a+2)-(b+1)(1-b)?

Ответ: а) доказано; б) наименьшее значение выражения равно -1

а) Докажем, что a(a + 2) – (b + 2)(2 - b) + 6 > 0

1. Раскроем скобки: \[a(a + 2) - (b + 2)(2 - b) + 6 = a^2 + 2a - (4 - b^2) + 6 = a^2 + 2a - 4 + b^2 + 6\]
2. Сгруппируем члены и выделим полный квадрат: \[= a^2 + 2a + 1 + b^2 + 1 = (a + 1)^2 + b^2 + 1\]
3. Выражение (a + 1)² всегда неотрицательно, b² всегда неотрицательно, и к ним прибавляется 1, следовательно, выражение всегда положительно.
4. Таким образом, a(a + 2) – (b + 2)(2 - b) + 6 > 0 при любых значениях a и b.

б) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a + 2) - (b + 1)(1 - b)?

1. Раскроем скобки: \[a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) = a^2 + 2a - (1 - b^2) = a^2 + 2a - 1 + b^2\]
2. Сгруппируем члены и выделим полный квадрат: \[= a^2 + 2a + 1 + b^2 - 2 = (a + 1)^2 + b^2 - 2\]
3. Минимальное значение (a + 1)² равно 0 (при a = -1), и минимальное значение b² равно 0 (при b = 0). Тогда наименьшее значение выражения равно: \[0 + 0 - 2 = -2\]

Ответ: а) доказано; б) наименьшее значение выражения равно -1