8. (3 балла) О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. OK, OM, OH, ОР - биссектрисы треугольников АОВ, ВОС, COD, DOA. Докажите, что КМНР – ромб.

Ответ: Доказано, что КМНР – ромб

1. В параллелограмме ABCD: AO = OC, BO = OD (свойство диагоналей параллелограмма).
2. OK, OM, OH, OP – биссектрисы треугольников АОВ, ВОС, COD, DOA (по условию).
3. ∠AOK = ∠BOK, ∠BOM = ∠COM, ∠COH = ∠DOH, ∠DOP = ∠AOP (по определению биссектрисы).
4. ∠AOB = ∠COD, ∠BOC = ∠DOA (вертикальные углы).
5. Рассмотрим треугольники AOP и COH: \[\frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \angle AOK = \angle COH = \frac{1}{2} \cdot \angle COD\]
6. Следовательно, ∠AOK = ∠COH.
7. Аналогично, ∠BOK = ∠DOH.
8. Рассмотрим четырехугольник КМНР:
   • ∠KOM = ∠KOB + ∠BOM
   • ∠POH = ∠POD + ∠DOH
9. Так как ∠KOB = ∠AOK, ∠DOH = ∠COH, ∠POD = ∠AOP и ∠BOM = ∠COM, то ∠KOM + ∠POH = 180°.
10. Следовательно, ∠KOM и ∠POH — смежные углы, а значит, прямые KM и PH перпендикулярны.
11. Аналогично доказывается, что прямые KP и MH перпендикулярны.
12. Таким образом, диагонали четырехугольника KМНР перпендикулярны.
13. Точка пересечения диагоналей четырехугольника KМНР делит диагонали пополам (по свойству биссектрис).
14. Следовательно, KМНР – ромб (по признакам ромба).

Ответ: Доказано, что КМНР – ромб