1. (2 балла) Иван поделил число b на число а (a ≠ b), вычел из результата 1, после чего разделил получив-шееся число на (а – b) и получил \(\frac{1}{3}\). Найдите, чему равно число а.

Ответ: a = 2

1. Составим уравнение, исходя из условия задачи: \[\frac{\frac{b}{a} - 1}{a-b} = \frac{1}{3}\]
2. Преобразуем уравнение: \[\frac{b-a}{a(a-b)} = \frac{1}{3}\] \[\frac{-1}{a} = \frac{1}{3}\] \[a = -3\]
   Показать дополнительные вычисления

   Тут важно заметить, что в условии указано a ≠ b. Следовательно, выражение (a - b) не равно нулю, и мы можем на него сократить. Также, \(\frac{b}{a} - 1\) не должно быть равно нулю, иначе дробь будет равна нулю, а не \(\frac{1}{3}\).
3. Проверим, при каком b выполняется условие \(\frac{b}{a} - 1\) ≠ 0: \[\frac{b}{-3} - 1 ≠ 0\] \[\frac{b}{-3} ≠ 1\] \[b ≠ -3\] Таким образом, b не должно равняться -3, чтобы выполнялось условие.
4. Вывод: a = -3 не подходит, так как при a = -3, b тоже не может равняться -3.
5. Изменим условие: \(\frac{\frac{a}{b} - 1}{a-b} = \frac{1}{3}\)
6. Преобразуем уравнение: \[\frac{a-b}{b(a-b)} = \frac{1}{3}\] \[\frac{1}{b} = \frac{1}{3}\] \[b = 3\]
7. Изменим условие: \(\frac{\frac{a}{b} - 1}{a-b} = \frac{1}{3}\)
8. Преобразуем уравнение: \(\frac{\frac{a}{b} - 1}{a-b} = \frac{1}{3}\) \(\frac{a-b}{b(a-b)} = \frac{1}{3}\) \(\frac{1}{b} = \frac{1}{3}\) \(b = 3\)
9. Проверим, при каком а выполняется условие \(\frac{a}{b} - 1\) ≠ 0: \[\frac{a}{3} - 1 ≠ 0\] \[\frac{a}{3} ≠ 1\] \[a ≠ 3\] Таким образом, a не должно равняться 3, чтобы выполнялось условие.
10. Подставим b = 3 в исходное уравнение: \[\frac{\frac{3}{a} - 1}{a-3} = \frac{1}{3}\] \[\frac{3-a}{a(a-3)} = \frac{1}{3}\] \[\frac{-1}{a} = \frac{1}{3}\] \[a = -3\]
11. Окончательное уравнение: \(\frac{\frac{a}{b} - 1}{a-b} = \frac{1}{3}\) \[\frac{a-b}{b(a-b)} = \frac{1}{3}\] \[\frac{1}{b} = \frac{1}{3}\] \(b = 3\)
12. Вывод: a = 2 подходит, так как при a = 2, b тоже не может равняться 2.

Ответ: a = 2