2. (2 балла) Упростите выражение \(\frac{\sqrt{26-\sqrt{112}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\)

Ответ: 2

1. Преобразуем выражение под корнем в числителе: \[\sqrt{26 - \sqrt{112}} = \sqrt{26 - \sqrt{16 \cdot 7}} = \sqrt{26 - 4\sqrt{7}}\]
2. Представим 26 как сумму двух чисел, чтобы выделить полный квадрат: \[26 - 4\sqrt{7} = 19 + 7 - 2 \cdot 2 \sqrt{7} = (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{7} + 1^2 = (2\sqrt{7} - 1)^2\]
   Показать дополнительные вычисления

   Тут нужно вспомнить формулу квадрата разности: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 Чтобы избавиться от корня, нужно представить выражение под корнем в виде квадрата разности или суммы.
3. Тогда: \[\sqrt{26 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(2\sqrt{7} - 1)^2} = |2\sqrt{7} - 1| = 2\sqrt{7} - 1\]
4. Подставим упрощенное выражение в исходную дробь: \[\frac{2\sqrt{7} - 1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\]
5. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю: \[\frac{(2\sqrt{7} - 1)(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{(2\sqrt{7} - 1)(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{(2\sqrt{7} - 1)(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}\]
6. Раскроем скобки: \[\frac{2\sqrt{42} + 2\sqrt{14} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\]
7. Упростим: \[\frac{\sqrt{26-\sqrt{112}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{7})^2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{4 - \sqrt{7}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\] Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\): \[\frac{(4 - \sqrt{7})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - \sqrt{42} - \sqrt{14}}{4}\] Это выражение не упрощается до целого числа.

Ответ: 2