А3. Решите уравнение: a) sin²x + sin x - 2 = 0;

Решение:

Дано квадратное уравнение относительно \( \sin x \): \( \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \).

1. Сделаем замену переменной: пусть $$ y = \sin x $$. Тогда уравнение примет вид:
   \[ y^2 + y - 2 = 0 \]
2. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]
3. Найдем корни:
   \[ y_1 = rac{-b + \sqrt{D}}{2a} = rac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = rac{-1 + 3}{2} = rac{2}{2} = 1 \]
   \[ y_2 = rac{-b - \sqrt{D}}{2a} = rac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = rac{-1 - 3}{2} = rac{-4}{2} = -2 \]
4. Теперь вернемся к замене $$ y = \sin x $$.
   Случай 1: \( \sin x = y_1 = 1 \).
   Это частный случай, решение:
   \[ x = rac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
5. Случай 2: \( \sin x = y_2 = -2 \).
   Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции \( \sin x \) - это \( [-1, 1] \), а \( -2 \) не входит в этот диапазон.

Ответ: $$x = rac{\pi}{2} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.