А3. Решите уравнение: б) 1 + 7 cos²x = 3 sin 2x;

Решение:

Дано уравнение: \( 1 + 7 \cos^2 x = 3 \sin 2x \).

1. Используем тригонометрические тождества: \( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \) и \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
   Подставим их в уравнение:
   \[ (\sin^2 x + \cos^2 x) + 7 \cos^2 x = 3(2 \sin x \cos x) \]
   \[ \sin^2 x + 8 \cos^2 x = 6 \sin x \cos x \]
2. Перенесем все члены в одну сторону:
   \[ \sin^2 x - 6 \sin x \cos x + 8 \cos^2 x = 0 \]
3. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (при условии, что \( \cos x
   eq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и уравнение не будет выполняться: \( 1 \pm 0 eq 0 \)).
   \[ rac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 6 rac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 8 rac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]
   \[ an^2 x - 6 an x + 8 = 0 \]
4. Сделаем замену: пусть $$ t = an x $$. Уравнение примет вид:
   \[ t^2 - 6t + 8 = 0 \]
5. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
   \[ D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 \]
6. Найдем корни:
   \[ t_1 = rac{-(-6) + \sqrt{4}}{2(1)} = rac{6 + 2}{2} = rac{8}{2} = 4 \]
   \[ t_2 = rac{-(-6) - \sqrt{4}}{2(1)} = rac{6 - 2}{2} = rac{4}{2} = 2 \]
7. Вернемся к замене $$ t = an x $$.
   Случай 1: \( an x = 4 \).
   \[ x = \arctan(4) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
8. Случай 2: \( an x = 2 \).
   \[ x = \arctan(2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: $$x = \arctan(4) + \pi k$$ и $$x = \arctan(2) + \pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.