А7 Упростите выражение: $$ \left( \frac{16b}{a} - \frac{16a}{b} \right) \cdot \frac{1}{4a+4b} $$

Решение:

1. Приведем к общему знаменателю в первой скобке:
   • \( \frac{16b}{a} - \frac{16a}{b} = \frac{16b \cdot b - 16a \cdot a}{ab} = \frac{16b^2 - 16a^2}{ab} \)
   • Вынесем общий множитель 16: \( \frac{16(b^2 - a^2)}{ab} \)
   • Разложим разность квадратов: \( b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) \)
   • Получим: \( \frac{16(b - a)(b + a)}{ab} \)
2. Преобразуем второй множитель:
   • \( \frac{1}{4a+4b} = \frac{1}{4(a+b)} \)
3. Перемножим полученные выражения:
   • \( \frac{16(b - a)(b + a)}{ab} \cdot \frac{1}{4(a+b)} \)
   • Сократим \( (b+a) \) и 16 с 4: \( \frac{4(b - a)}{ab} \)

Ответ: $$ \frac{4(b-a)}{ab} $$