5) $$ABF$$ - треугольник.

В треугольнике $$ABF$$ известны стороны $$BF = 15$$, $$AH = 6$$, $$HF = 12$$. Требуется найти $$BH = x$$. Заметим, что $$AF = AH + HF = 6 + 12 = 18$$. Треугольник $$ABF$$ прямоугольный, так как $$BH$$ - высота. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$. Также, рассмотрим треугольник $$ABF$$, $$AB^2+AF^2=BF^2$$. Тогда $$AB^2+18^2=15^2$$, $$AB^2=225-324<0$$. Скорее всего в задаче есть ошибка, поскольку $$BF < AF$$, а в треугольнике гипотенуза не может быть меньше катета. Если же считать треугольник $$ABF$$ прямоугольным, и $$BF=15$$ - катет, то $$x = BH = \sqrt{15^2-12^2}=9$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$. Тогда $$AB^2 = 6^2 + x^2 = 36+x^2$$. Значит, $$ABF$$ не прямоугольный, задача не может быть решена однозначно.

Предположим, что треугольник $$ABF$$ прямоугольный с гипотенузой $$AF$$. Тогда, по теореме Пифагора, $$AF^2 = AB^2 + BF^2$$, где $$AF = AH + HF = 6 + 12 = 18$$. Тогда $$18^2 = AB^2 + 15^2$$, откуда $$AB^2 = 18^2 - 15^2 = 324 - 225 = 99$$. В треугольнике $$ABH$$: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$, $$99 = 6^2 + x^2 = 36 + x^2$$, откуда $$x^2 = 99 - 36 = 63$$. Значит, $$x = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$$.

Ответ: $$3\sqrt{7}$$