7. AD = 2√13, DO = 4.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ADO, где AO - радиус описанной окружности около основания, DO - высота пирамиды, AD - боковое ребро.

2. По теореме Пифагора найдем AO:

\[AO = \sqrt{AD^2 - DO^2} = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 - 4^2} = \sqrt{4 \cdot 13 - 16} = \sqrt{52 - 16} = \sqrt{36} = 6\]

3. Радиус описанной окружности связан со стороной треугольника:

\[AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}\]

где a - сторона основания.

4. Найдем сторону основания a:

\[a = \frac{3 \cdot AO}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\]

5. Найдем периметр основания P:

\[P = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\]

6. Найдем OM - радиус вписанной окружности:

\[OM = \frac{AO}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник DOM. По теореме Пифагора найдем апофему DM:

\[DM = \sqrt{DO^2 + OM^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]

8. Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[S = \frac{1}{2} P \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 5 = 45\sqrt{3}\]

Ответ: 45√3