4. DO = √3, DM ⊥ BC, ZODM=60°.

Решение:

1. Дано: DO = √3, DM ⊥ BC, ∠ODM = 60°.

2. Рассмотрим треугольник DOM, где DM - апофема, DO - высота, OM - радиус вписанной окружности в основание.

• Угол ODM = 60°.

3. Найдем DM из прямоугольного треугольника DOM:

\[DM = \frac{DO}{sin(60°)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\]

4. Найдем OM:

\[OM = DO \cdot ctg(60°) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1\]

5. Так как основание - правильный треугольник, то радиус вписанной окружности связан со стороной треугольника:

\[OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\]

где a - сторона основания.

6. Найдем сторону основания a:

\[a = \frac{6 \cdot OM}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]

7. Найдем периметр основания P:

\[P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]

8. Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[S = \frac{1}{2} P \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}\]

Ответ: 6√3