3. AM ⊥ BC, AM = 9, LDMO = 30°.

Решение:

1. Дано: AM ⊥ BC, AM = 9, ∠DMO = 30°.

2. Найдем сторону основания a:

\[AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] \[a = \frac{2AM}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\]

3. Найдем периметр основания P:

\[P = 3a = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\]

4. Рассмотрим треугольник DMO, где DM - апофема, DO - высота, OM - радиус вписанной окружности в основание.

• Угол DMO = 30°.

5. Найдем OM:

\[OM = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \cdot 3}{6} = 3\]

6. Найдем DM из прямоугольного треугольника DMO:

\[DM = OM \cdot ctg(30°) = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\]

7. Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[S = \frac{1}{2} P \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3 \cdot 3 = 81\]

Ответ: 81