Алгебра. Неравенства. 1. Решите неравенство (х – 9)2 < √2(x − 9).

1. Решим неравенство $$(x – 9)^2 < \sqrt{2}(x − 9)$$.

Пусть $$t = x-9$$, тогда неравенство примет вид:

$$t^2 < \sqrt{2}t$$

$$t^2 - \sqrt{2}t < 0$$

$$t(t - \sqrt{2}) < 0$$

Решим методом интервалов:

$$t = 0$$ или $$t - \sqrt{2} = 0$$

$$t = 0$$ или $$t = \sqrt{2}$$

Интервалы:

$$(-\infty; 0)$$, $$(0; \sqrt{2})$$, $$(\sqrt{2}; +\infty)$$.

Подставим значения:

$$t = -1$$: $$(-1)(-1-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2} > 0$$

$$t = 1$$: $$(1)(1-\sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2} < 0$$

$$t = 2$$: $$(2)(2-\sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2} > 0$$

Значит, решение: $$0 < t < \sqrt{2}$$.

Вернемся к замене:

$$0 < x - 9 < \sqrt{2}$$

$$9 < x < 9 + \sqrt{2}$$

Ответ: $$(9; 9 + \sqrt{2})$$