15. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?

Решение: 1. **Используем формулу арифметической прогрессии:** Высота, на которую поднимаются альпинисты каждый день, образует арифметическую прогрессию, где: * (a_1 = 1400) (высота в первый день) * (d = -100) (разность, на которую уменьшается высота каждый день) * (S_n = 5000) (общая сумма высоты) * (n = ?) (количество дней) Сумма n членов арифметической прогрессии: (S_n = \frac{(2a_1 + (n - 1) * d) * n}{2}) Подставляем известные значения: (5000 = \frac{(2 * 1400 + (n - 1) * (-100)) * n}{2}) (10000 = (2800 - 100n + 100) * n) (10000 = (2900 - 100n) * n) (10000 = 2900n - 100n^2) (100n^2 - 2900n + 10000 = 0) 2. **Решаем квадратное уравнение:** Сократим уравнение на 100: (n^2 - 29n + 100 = 0) Дискриминант: (D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 * 1 * 100 = 841 - 400 = 441) (n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + \sqrt{441}}{2} = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25) (n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{441}}{2} = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4) Оба значения (n) положительные. Нужно проверить, какое из них подходит. 3. **Проверка значений (n):** * Если (n=4): (a_4 = 1400 + (4-1) * (-100) = 1400 - 300 = 1100). Это значение высоты в четвертый день выглядит разумно. * Если (n=25): (a_{25} = 1400 + (25-1) * (-100) = 1400 - 2400 = -1000). Это означает, что в 25-й день альпинисты спустились на 1000 метров ниже начальной точки, что не имеет смысла в контексте задачи. Значит, это решение не подходит. Ответ: Альпинисты покорили высоту 5000 м за 4 дня.