5. B круг вписан равносторонний треугольник. Найдите вероятность того, что выбранная наугад точка, попадёт в данный треугольник. Подсказка:

5. Для начала вспомним необходимые формулы.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, тогда:

Радиус описанной окружности: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

Площадь равностороннего треугольника: $$S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$.

Площадь круга: $$S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{\pi a^2}{3}$$.

Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга попадет в треугольник:

$$P = \frac{S_{\text{треугольника}}}{S_{\text{круга}}} = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{\pi a^2}{3}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3}{\pi a^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$$.

Таким образом:

$$P = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx \frac{3 \cdot 1.732}{4 \cdot 3.1416} \approx \frac{5.196}{12.5664} \approx 0.413$$.

Ответ: $$\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$$ или приблизительно 0.413