4. В круг радиуса \frac{3√2}{2} см вписан равнобедренный прямоугольный треугольник. В круг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что она попадёт в данный треугольник. Ответ округлите до сотых.

4. Сначала найдем площадь круга и площадь вписанного треугольника.

Радиус круга: $$R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Площадь круга: $$S_{круга} = \pi R^2 = \pi \cdot (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 = \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{4} = \frac{9\pi}{2}$$

Для равнобедренного прямоугольного треугольника, вписанного в круг, гипотенуза является диаметром круга. Таким образом, гипотенуза равна $$2R = 2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$.

Катеты в равнобедренном прямоугольном треугольнике равны между собой. Обозначим их за a. Тогда по теореме Пифагора: $$a^2 + a^2 = (3\sqrt{2})^2$$

$$2a^2 = 9 \cdot 2$$

$$2a^2 = 18$$

$$a^2 = 9$$

$$a = 3$$

Площадь треугольника: $$S_{треугольника} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$$

Вероятность попадания точки в треугольник:

$$P = \frac{S_{треугольника}}{S_{круга}} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{9\pi}{2}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9\pi} = \frac{1}{\pi}$$

$$P = \frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3,14} \approx 0,318$$

Округлим до сотых: 0,32.

Ответ: 0,32