б) На сторонах AB, BC, CD, AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР=BM=CE=DK= 5 см, угол АРК равен 60°. Найдите периметр четырехугольника РМЕК.

Пусть сторона квадрата равна a. Рассмотрим прямоугольный треугольник APK. В нём AP = 5 см, угол APK = 60°. Тогда AK = AP * ctg(60°) = 5 * (√3 / 3) = (5√3) / 3 см.

Сторона квадрата ABCD равна:

a = AK + KD = (5√3) / 3 + 5 = (5√3 + 15) / 3 см

Рассмотрим треугольник РВМ. Он прямоугольный, равнобедренный, так как АР=ВМ=5 см, значит РМ=5√2 см.

Так как AP = BM = CE = DK, то четырехугольник PMEK - квадрат. Тогда его периметр равен:

Р = 4 * PM = 4 * 5√2 = 20√2 см

Ответ: Периметр четырехугольника РМЕК равен 20√2 см.

Рассмотрим другой вариант решения, учитывая, что АРК = 60°.

В треугольнике АРК угол РАК = 30°, тогда АК = АР * √3 = 5√3 см, а сторона квадрата равна а = 5 + 5√3 см.

В треугольнике РВМ угол РВМ = 90°, ВМ = 5 см, ВР = АВ - АР = (5 + 5√3) - 5 = 5√3 см.

Тогда РМ = √(ВМ² + ВР²) = √(5² + (5√3)²) = √(25 + 75) = √100 = 10 см.

Четырехугольник РМЕК – квадрат, его периметр равен Р = 4 * РМ = 4 * 10 = 40 см.

Ответ: 40 см