в) На сторонах AB, BC, CD, AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АP=BM=CE=DK= 6 см, угол АРК равен 60°. Найдите периметр четырехугольника РМЕК.

Пусть сторона квадрата равна a. Рассмотрим прямоугольный треугольник APK. В нём AP = 6 см, угол APK = 60°. Тогда AK = AP * ctg(60°) = 6 * (√3 / 3) = (6√3) / 3 = 2√3 см.

Сторона квадрата ABCD равна:

a = AK + KD = 2√3 + 6 см

Рассмотрим треугольник РВМ. Он прямоугольный, равнобедренный. ВМ = 6 см, ВР = АВ - АР = (6 + 2√3) - 6 = 2√3 см.

Тогда РМ = √(ВМ² + ВР²) = √(6² + (2√3)²) = √(36 + 12) = √48 = 4√3 см.

Так как AP = BM = CE = DK, то четырехугольник PMEK - квадрат. Тогда его периметр равен:

Р = 4 * PM = 4 * 4√3 = 16√3 см

Рассмотрим другой вариант решения, учитывая, что АРК = 60°.

В треугольнике АРК угол РАК = 30°, тогда АК = АР * √3 = 6√3 см, а сторона квадрата равна а = 6 + 6√3 см.

В треугольнике РВМ угол РВМ = 90°, ВМ = 6 см, ВР = АВ - АР = (6 + 6√3) - 6 = 6√3 см.

Тогда РМ = √(ВМ² + ВР²) = √(6² + (6√3)²) = √(36 + 108) = √144 = 12 см.

Четырехугольник РМЕК – квадрат, его периметр равен Р = 4 * РМ = 4 * 12 = 48 см.

Ответ: 48 см