257 B прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, AC + AB = 18 см. Найдите АС И АВ.

Ответ: АС = 3 см, АВ = 15 см

1. Внешний угол при вершине А равен 120°, значит, внутренний угол при вершине А равен: \[180° - 120° = 60°\]
2. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, следовательно, угол B равен: \[90° - 60° = 30°\]
3. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, АС = 1/2 АВ.
4. Составим систему уравнений: \[\begin{cases} AC + AB = 18 \\ AC = \frac{1}{2}AB \end{cases}\]
5. Подставим АС из второго уравнения в первое: \[\frac{1}{2}AB + AB = 18\] \[\frac{3}{2}AB = 18\] \[AB = \frac{2 \cdot 18}{3} = 12 \cdot \frac{2}{2} = 12\]
6. Найдем АС: \[AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см