B1 Решите систему уравнений: { x + 2y = 3, x² - 2x + 4y² = 21.

Решение:

Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + 2y = 3 \\ x^2 - 2x + 4y^2 = 21 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим \( x \):

\[ x = 3 - 2y \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (3 - 2y)^2 - 2(3 - 2y) + 4y^2 = 21 \]

Раскроем скобки:

\[ (9 - 12y + 4y^2) - (6 - 4y) + 4y^2 = 21 \]

\[ 9 - 12y + 4y^2 - 6 + 4y + 4y^2 = 21 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ 8y^2 - 8y + 3 = 21 \]

\[ 8y^2 - 8y - 18 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 2:

\[ 4y^2 - 4y - 9 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 16 + 144 = 160 \]

Найдём корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{160}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + \sqrt{16 \cdot 10}}{8} = \frac{4 + 4\sqrt{10}}{8} = \frac{1 + \sqrt{10}}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{160}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 4\sqrt{10}}{8} = \frac{1 - \sqrt{10}}{2} \]

Теперь найдем соответствующие значения \( x \), используя \( x = 3 - 2y \).

Для \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{2} \):

\[ x_1 = 3 - 2 \cdot \frac{1 + \sqrt{10}}{2} = 3 - (1 + \sqrt{10}) = 3 - 1 - \sqrt{10} = 2 - \sqrt{10} \]

Для \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{2} \):

\[ x_2 = 3 - 2 \cdot \frac{1 - \sqrt{10}}{2} = 3 - (1 - \sqrt{10}) = 3 - 1 + \sqrt{10} = 2 + \sqrt{10} \]

Ответ: \( (2 - \sqrt{10}; \frac{1 + \sqrt{10}}{2}), (2 + \sqrt{10}; \frac{1 - \sqrt{10}}{2}) \)