B1 Вычислить площадь трапеции, ограниченной y = 0, x = 0, x = 2, y = 4x - x² + 2

Решение:

Площадь трапеции, ограниченной заданными линиями, можно найти с помощью определенного интеграла. В данном случае, линии \( y=0 \) (ось x), \( x=0 \) (ось y) и \( x=2 \) задают пределы интегрирования по оси x. Функция \( y = 4x - x^2 + 2 \) является верхней границей фигуры.

Площадь \( S \) вычисляется как:

\[ S = \int_{0}^{2} (4x - x^2 + 2) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (4x - x^2 + 2) dx = 4 \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + 2x + C = 2x^2 - \frac{x^3}{3} + 2x + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{0}^{2} \]

\[ S = \left( 2(2)^2 - \frac{(2)^3}{3} + 2(2) \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} + 2(0) \right) \]

\[ S = \left( 2(4) - \frac{8}{3} + 4 \right) - (0) \]

\[ S = 8 - \frac{8}{3} + 4 \]

\[ S = 12 - \frac{8}{3} \]

\[ S = \frac{36}{3} - \frac{8}{3} = \frac{28}{3} \]

Ответ: \( \frac{28}{3} \).