B2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ - 12x на промежутке [-1; 2].

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке, нужно:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках, попавших на промежуток, и на концах промежутка.
4. Сравнить полученные значения.

1. Найдем производную:

\( y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x) = 3x^2 - 12 \)

2. Найдем критические точки:

Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 12 = 0 \)

\( 3x^2 = 12 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = ± 2 \)

Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

3. Вычислим значения функции на промежутке [-1; 2]:

Промежутку \( [-1; 2] \) принадлежат критическая точка \( x = 2 \) и конец промежутка \( x = -1 \) и \( x = 2 \). Точка \( x = -2 \) не входит в заданный промежуток.

• Значение функции на концах промежутка:

При \( x = -1 \): \( y(-1) = (-1)^3 - 12(-1) = -1 + 12 = 11 \)

При \( x = 2 \): \( y(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16 \)

4. Сравним полученные значения:

Значения функции на промежутке \( [-1; 2] \): 11 и -16.

Наибольшее значение функции равно 11.

Наименьшее значение функции равно -16.

Ответ: Наибольшее значение функции = 11, наименьшее значение функции = -16.