B13. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью ее основания угол, равный \(\arctg\frac{8}{5}\). Найдите объем пирамиды.

Площадь основания равна \(S=\frac12\cdot5\cdot12=30\). Гипотенуза основания равна \(13\), поэтому радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы: \(R=\frac{13}{2}\).

Опустим высоту пирамиды из вершины на основание. Проекция вершины пирамиды равноудалена от всех трех вершин основания: для каждого бокового ребра тангенс угла с плоскостью основания равен отношению высоты пирамиды к длине проекции этого ребра, и этот тангенс одинаков. Значит, проекция — центр описанной окружности основания.

Из условия \(\tan\angle=\frac85\), следовательно, высота пирамиды \(h=R\cdot\frac85=\frac{13}{2}\cdot\frac85=\frac{52}{5}\).

Тогда объем \(V=\frac13Sh=\frac13\cdot30\cdot\frac{52}{5}=104\).

Ответ: 104.