B18. Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения \(2\sin^2 5x-17\sin\left(\frac\pi2+5x\right)+7=0\) на промежутке \((-135^\circ;0^\circ)\).

Используем тождество \(\sin(\frac\pi2+5x)=\cos5x\). Обозначим \(c=\cos5x\); тогда \(\sin^2 5x=1-c^2\), и уравнение принимает вид:

\(2(1-c^2)-17c+7=0\),
\(2c^2+17c-9=0\).

Корни этого квадратного уравнения: \(c=\frac12\) и \(c=-9\). Второй корень невозможен, так как косинус лежит в пределах от \(-1\) до 1. Значит, \(\cos5x=\frac12\).

При \(x\in(-135^\circ,0^\circ)\) получаем \(5x\in(-675^\circ,0^\circ)\). В этом промежутке решения уравнения \(\cos5x=\frac12\): \(-660^\circ,-420^\circ,-300^\circ,-60^\circ\). Следовательно, \(x=-132^\circ,-84^\circ,-60^\circ,-12^\circ\).

Их сумма равна \(-132-84-60-12=-288\).

Ответ: \(-288^\circ\).