B20. Отрезок FB перпендикулярен плоскости параллелограмма ABCD, у которого $\cos\angle ABC=-\frac37$, $AB=7$, $AD=14$. Точка E лежит на стороне AD, причем $AE:ED=5:2$. Угол между прямой FE и плоскостью, в которой лежит параллелограмм ABCD, равен $\arctg2$. Найдите значение выражения $267\sin^2\alpha$, где $\alpha$ — угол между прямой FE и плоскостью BFC.

Question

Вопрос: $Фото задания: B20. Отрезок FB перпендикулярен плоскости параллелограмма ABCD, у которого $\cos\angle ABC=-\frac37$, $AB=7$,…$ Фото задания

B20. Отрезок FB перпендикулярен плоскости параллелограмма ABCD, у которого $\cos\angle ABC=-\frac37$, $AB=7$, $AD=14$. Точка E лежит на стороне AD, причем $AE:ED=5:2$. Угол между прямой FE и плоскостью, в которой лежит параллелограмм ABCD, равен $\arctg2$. Найдите значение выражения $267\sin^2\alpha$, где $\alpha$ — угол между прямой FE и плоскостью BFC.

Accepted Answer

Поскольку $AD=14$ и $AE:ED=5:2$, имеем $AE=10$. Проекция отрезка $FE$ на плоскость параллелограмма — отрезок $BE$. Векторы $BA$ и $BC$ образуют угол $ABC$, причем $|BC|=|AD|=14$. Поэтому

$BE^2=AB^2+AE^2+2\cdot AE\cdot AB\cos\angle ABC$
$=7^2+10^2+2\cdot10\cdot7\cdot(-\frac37)=89$.

Так как угол между $FE$ и плоскостью основания равен $\arctan2$, отношение перпендикулярной составляющей к длине проекции равно 2. Следовательно, $FB=2BE$, и $FE^2=BE^2+FB^2=5\cdot89=445$.

Плоскость $BFC$ — вертикальная плоскость, содержащая $BC$. Перпендикулярная к ней составляющая направления $FE$ равна расстоянию от $E$ до прямой $BC$. Поскольку $E$ смещена от $A$ вдоль $BC$, это расстояние равно расстоянию от $A$ до $BC$:

$d^2=AB^2-(AB\cos\angle ABC)^2=49-(-3)^2=40$.

Поэтому $\sin^2\alpha=\frac{d^2}{FE^2}=\frac{40}{445}=\frac8{89}$, и $267\sin^2\alpha=267\cdot\frac8{89}=24$.

Ответ: 24.