B15. Плоскость, параллельная основанию конуса, делит его высоту в отношении 4:5, если считать от вершины конуса. Площадь сечения конуса данной плоскостью равна 32. Найдите объем этого конуса, если секущая плоскость находится на расстоянии 12 от вершины конуса.

От вершины до секущей плоскости — 4 части отношения, и это расстояние равно 12. Поэтому вся высота конуса равна \(12\cdot\frac{4+5}{4}=27\).

Сечение подобно основанию, а отношение их линейных размеров равно отношению расстояний от вершины: \(\frac49\). Поэтому площадь основания в \((\frac94)^2\) раз больше площади сечения:

\(S_{\text{осн}}=32\cdot\left(\frac94\right)^2=162\).

Объем конуса равен \(V=\frac13S_{\text{осн}}h=\frac13\cdot162\cdot27=1458\).

Ответ: 1458.