B19. Найдите значение выражения \(\frac{24-48\sin^2\alpha}{1+\cos(\frac\pi2-2\alpha)}\), если \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac15\).

По формулам двойного угла числитель равен \(24(1-2\sin^2\alpha)=24\cos2\alpha\), а \(\cos(\frac\pi2-2\alpha)=\sin2\alpha\).

Из \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac15\) следует \(\tan\alpha=5\). Тогда

\(\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{10}{26}=\frac5{13}\),
\(\cos2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{1-25}{26}=-\frac{12}{13}\).

Подставим значения: \(\frac{24\cdot(-12/13)}{1+5/13}=\frac{-288/13}{18/13}=-16\).

Ответ: \(-16\).