B16. Через вершину конуса и хорду его основания, равную 6 и стягивающую дугу в 60°, проведено сечение, площадь которого равна \(15\sqrt3\). Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt3\cdot V}{\pi}\), где \(V\) — объём данного конуса.

Хорда длиной 6 стягивает дугу в \(60^\circ\), поэтому радиус основания: \(6=2R\sin30^\circ\), откуда \(R=6\).

Сечение через вершину и хорду — равнобедренный треугольник с основанием 6 и площадью \(15\sqrt3\). Его высота к основанию равна \(\frac{2\cdot15\sqrt3}{6}=5\sqrt3\).

Эта высота является высотой конуса, значит \(h=5\sqrt3\). Тогда \(V=\frac13\pi R^2h=\frac13\pi\cdot36\cdot5\sqrt3=60\sqrt3\pi\).

Следовательно, \(\frac{\sqrt3V}{\pi}=\frac{\sqrt3\cdot60\sqrt3\pi}{\pi}=180\).

Ответ: \(180\).