B20. Стороны основания прямого параллелепипеда относятся как \(3:2\), синус угла между ними равен \(\frac{\sqrt{15}}4\). Диагональ большей по площади боковой грани наклонена к плоскости основания под углом \(45^\circ\). Найдите значение выражения \(48\cdot\tan^2\alpha\), где \(\alpha\) — угол, который образует большая диагональ параллелепипеда с плоскостью основания.

Пусть стороны основания равны \(3k\) и \(2k\), а высота — \(h\). Площадь основания: \(S=3k\cdot2k\cdot\frac{\sqrt{15}}4=\frac{3\sqrt{15}}2k^2\).

Площади боковых граней равны \(3kh\) и \(2kh\), поэтому большей является грань со стороной \(3k\). Её диагональ наклонена под углом \(45^\circ\), значит \(\tan45^\circ=\frac h{3k}\), откуда \(h=3k\).

Проекция большой пространственной диагонали на основание — диагональ основания. Её квадрат: \(d^2=(3k)^2+(2k)^2+2\cdot3k\cdot2k\cdot\cos\beta\), где \(\sin\beta=\frac{\sqrt{15}}4\), поэтому \(\cos\beta=\frac14\). Значит \(d^2=9k^2+4k^2+3k^2=16k^2\).

Следовательно, \(\tan^2\alpha=\frac{h^2}{d^2}=\frac{9k^2}{16k^2}=\frac9{16}\), и \(48\tan^2\alpha=27\).

Ответ: \(27\).