B2. Один из лыжников прошёл 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей, чем другой

Обозначим скорости лыжников и время, которое они потратили на дистанцию.

1. Введём переменные:
   • Пусть \( v_1 \) — скорость первого лыжника (км/ч), \( v_2 \) — скорость второго лыжника (км/ч).
   • Пусть \( t_1 \) — время первого лыжника (ч), \( t_2 \) — время второго лыжника (ч).
2. Переведём 20 минут в часы: \( 20 ext{ мин} = \frac{20}{60} ext{ ч} = \frac{1}{3} ext{ ч} \)
3. Запишем известные условия в виде уравнений:
   • Дистанция \( S = 20 \) км.
   • \( v_1 = v_2 + 2 \) (один двигался на 2 км/ч быстрее другого).
   • \( t_1 = t_2 - \frac{1}{3} \) (первый прошёл дистанцию на 20 минут быстрее).
4. Воспользуемся формулой: \( S = v × t \)
5. Выразим время через скорость и расстояние:
   • \( t_1 = \frac{20}{v_1} \)
   • \( t_2 = \frac{20}{v_2} \)
6. Подставим выражения для времени в уравнение:\[ \frac{20}{v_1} = \frac{20}{v_2} - \frac{1}{3} \]
7. Подставим \( v_1 = v_2 + 2 \):\[ \frac{20}{v_2 + 2} = \frac{20}{v_2} - \frac{1}{3} \]
8. Приведём к общему знаменателю и решим уравнение относительно \( v_2 \):\[ \frac{20 × 3 \u00D7 v_2}{(v_2 + 2) \u00D7 3 \u00D7 v_2} = \frac{20 \u00D7 3 \u00D7 (v_2 + 2)}{v_2 \u00D7 3 \u00D7 (v_2 + 2)} - \frac{1 \u00D7 v_2 \u00D7 (v_2 + 2)}{3 \u00D7 v_2 \u00D7 (v_2 + 2)} \] \[ 60v_2 = 60(v_2 + 2) - v_2(v_2 + 2) \] \[ 60v_2 = 60v_2 + 120 - v_2^2 - 2v_2 \] \[ 0 = 120 - v_2^2 - 2v_2 \] \[ v_2^2 + 2v_2 - 120 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение для \( v_2 \):\[ D = 2^2 - 4 \u00D7 1 \u00D7 (-120) = 4 + 480 = 484 \] \[ \sqrt{D} = 22 \] \[ v_2 = \frac{-2 \pm 22}{2} \]
10. Получаем два значения для \( v_2 \):\[ v_2 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ км/ч} \] \[ v_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \text{ км/ч} \]
11. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( v_2 = 10 \) км/ч.
12. Найдем скорость первого лыжника:\[ v_1 = v_2 + 2 = 10 + 2 = 12 \text{ км/ч} \]

Ответ: Скорость одного лыжника — 10 км/ч, скорость другого — 12 км/ч.