11. (1 балл) Найдите $$ctg\alpha$$, если $$sin\alpha = \frac{2}{5}$$ и $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$.

Дано: $$sin\alpha = \frac{2}{5}$$, $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$.

Найти: $$ctg\alpha$$

Решение:

Так как $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$, то $$\alpha$$ находится в III четверти, где синус отрицателен, а котангенс положителен.

Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$$.

$$\cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$$

$$\cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$$

Т.к. $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$, то $$\cos\alpha < 0$$, поэтому $$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}$$.

Тогда $$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2}$$.

Проверим знак. Т.к. $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$, то угол в 3-й четверти, где котангенс положителен, а синус отрицателен. В условии синус положительный. Значит, в условии ошибка. Если исправить синус на отрицательный, то котангенс будет положительным.

Т.е. $$sin\alpha = -\frac{2}{5}$$, $$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}$$.

Тогда $$ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{21}}{2}$$