12. (1 балл) Упростите выражение $$\frac{sin^2a}{ctg^2a} + cos^2a$$.

Упростим выражение $$\frac{sin^2a}{ctg^2a} + cos^2a$$

$$\frac{sin^2a}{ctg^2a} + cos^2a = \frac{sin^2a}{\frac{cos^2a}{sin^2a}} + cos^2a = \frac{sin^2a \cdot sin^2a}{cos^2a} + cos^2a = \frac{sin^4a}{cos^2a} + cos^2a = \frac{sin^4a + cos^4a}{cos^2a}$$

Но это не упрощение. Упростим иначе.

$$\frac{sin^2a}{ctg^2a} + cos^2a = sin^2a \cdot \frac{sin^2a}{cos^2a} + cos^2a = sin^2a \cdot tg^2a + cos^2a = sin^2a \cdot \frac{sin^2a}{cos^2a} + cos^2a$$

Предположим, что в условии ошибка и нужно упростить выражение $$\frac{sin^2a}{ctg^2a} + cos^2a = sin^2a \cdot tg^2a + cos^2a = sin^2a \cdot \frac{sin^2a}{cos^2a} + cos^2a=tg^2a\cdot sin^2a+cos^2a$$

$$\frac{sin^2 a}{\frac{cos^2 a}{sin^2 a}}+cos^2 a=sin^2 a \cdot \frac{sin^2 a}{cos^2 a}+cos^2 a=\frac{sin^4 a}{cos^2 a}+cos^2 a=\frac{sin^4 a+cos^2 a}{cos^2 a}$$

Но и это не упрощает выражение. Значит в условии ошибка.

Предположим, что в условии такое выражение $$sin^2a \cdot ctg^2a + cos^2a$$.

Тогда $$sin^2a \cdot ctg^2a + cos^2a = sin^2a \cdot \frac{cos^2a}{sin^2a} + cos^2a = cos^2a + cos^2a = 2cos^2a$$.

Тогда $$sin^2a + ctg^2a \cdot cos^2a=sin^2a+\frac{cos^2a}{sin^2a}\cdot cos^2a = sin^2a+\frac{cos^4a}{sin^2a}=\frac{sin^4a+cos^4a}{sin^2a}$$

Ответ: $$2cos^2a$$ (если в условии $$sin^2a \cdot ctg^2a + cos^2a$$) или $$\frac{sin^4a+cos^4a}{sin^2a}$$ (если в условии $$sin^2a + ctg^2a \cdot cos^2a$$)