10. (2 балла) Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите ско- рость лодки в неподвижной воде.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $$v$$ км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки будет $$(v + 3)$$ км/ч, а против течения $$(v - 3)$$ км/ч.

Расстояние, пройденное по течению, равно 36 км, и расстояние, пройденное против течения, также равно 36 км.

Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{36}{v + 3}$$

Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{36}{v - 3}$$

Общее время, затраченное на весь путь, равно 5 часам. Следовательно:

$$\frac{36}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} = 5$$

Умножим обе части уравнения на $$(v + 3)(v - 3)$$, чтобы избавиться от дробей:

$$36(v - 3) + 36(v + 3) = 5(v^2 - 9)$$

$$36v - 108 + 36v + 108 = 5v^2 - 45$$

$$72v = 5v^2 - 45$$

$$5v^2 - 72v - 45 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$$

$$v_1 = \frac{72 + 78}{10} = \frac{150}{10} = 15$$

$$v_2 = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0,6$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 15$$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч