Билет №13. 1. Определение трапеции. Элементы трапеции. Виды трапеций. Определения. 2. Признаки подобия треугольников. Доказательство одного из них. 3. Задача.

Билет №13.

1. Трапеция:

   Определение: Трапеция — это четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.

   Элементы трапеции:

   Основания: Параллельные стороны (обычно обозначаются \( a \) и \( b \)).

   Боковые стороны: Непараллельные стороны.

   Высота: Перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание.

   Виды трапеций:

   1. Равнобедренная трапеция: Трапеция, у которой боковые стороны равны. Углы при каждом основании равны.

   2. Прямоугольная трапеция: Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

2. Признаки подобия треугольников:

   1. По двум углам: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   2. По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

   3. По трём сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   Доказательство признака 1 (по двум углам):

   Пусть даны \( △ ABC \) и \( △ A'B'C' \) такие, что \( ∠ A = ∠ A' \) и \( ∠ B = ∠ B' \). Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, \( ∠ C = 180^\circ - ∠ A - ∠ B \) и \( ∠ C' = 180^\circ - ∠ A' - ∠ B' \). Так как \( ∠ A = ∠ A' \) и \( ∠ B = ∠ B' \), то \( ∠ C = ∠ C' \).

   Теперь рассмотрим соотношение сторон. Отложим на стороне AB отрезок AB' такой, чтобы \( AB' = A'B' \). Через точку B' проведём прямую, параллельную BC, которая пересечёт AC в точке C'. Тогда \( △ AB'C' ∽ △ ABC \) (по двум углам: \( ∠ A \) — общий, \( ∠ AB'C' = ∠ ABC \) как соответственные). Следовательно, \( \frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} \). Так как \( AB' = A'B' \), то \( \frac{A'B'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{B'C'}{BC} \). Аналогично можно построить прямую, параллельную AC, и показать, что \( \frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} \). Таким образом, стороны пропорциональны, и треугольники подобны.

3. Задача: (Требуется условие задачи)