Билет №14. 1. Смежные и вертикальные углы, определения и свойства. 2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии.

Билет №14.

1. Смежные и вертикальные углы:

   Смежные углы:

   Определение: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой.

   Свойство: Сумма смежных углов равна 180 градусов.

   Вертикальные углы:

   Определение: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

   Свойство: Вертикальные углы равны.

2. Средняя линия треугольника:

   Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

   Теорема о средней линии: Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна половине этого основания.

   Доказательство:

   Пусть дан \( △ ABC \). Пусть MN — средняя линия, где M — середина AB, N — середина AC. Рассмотрим \( △ AMN \) и \( △ ABC \). Угол \( ∠ A \) — общий. \( AM = \frac{1}{2} AB \) и \( AN = \frac{1}{2} AC \) (по определению средней линии). Следовательно, \( △ AMN ∽ △ ABC \) по первому признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). Коэффициент подобия равен \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2} \). Отсюда следует, что \( \frac{MN}{BC} = \frac{1}{2} \), то есть \( MN = \frac{1}{2} BC \). Также из подобия следует, что \( ∠ AMN = ∠ ABC \). Так как эти углы являются соответственными при пересечении прямых MN и BC секущей AB, то \( MN – BC \).