Билет №14. 1. Смежные и вертикальные углы, определения и свойства. 2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника (с доказательством). 3. Задача.

Билет №14

1. Смежные и вертикальные углы:

• Смежные углы: это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны составляют одну прямую. Сумма смежных углов равна 180° (\( p \), где \( p \) — развернутый угол).
• Вертикальные углы: это углы, которые образуются при пересечении двух прямых и являются противоположными. Вертикальные углы равны.

2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника.

Теорема: Средняя линия треугольника, параллельная одной из сторон, равна половине этой стороны.

Доказательство:

Пусть \( Δ ABC \) — данный треугольник, а \( MN \) — его средняя линия, соединяющая середины сторон \( AB \) и \( BC \). По определению средней линии, \( AM = MB \) и \( BN = NC \). Нам нужно доказать, что \( MN ′′ AC \) и \( MN = \frac{1}{2} AC \).

Проведем через точку \( N \) прямую, параллельную \( AB \), и пусть она пересекает \( AC \) в точке \( P \). По теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. Так как \( BN = NC \), то \( AP = PC \). Значит, \( NP \) — средняя линия треугольника \( Δ ABC \) и \( NP ′′ AB \).

Теперь рассмотрим треугольники \( Δ MBN \) и \( Δ APN \). У них \( MB = AP \) (так как \( MB = \frac{1}{2} AB \) и \( AP = \frac{1}{2} AC \), а \( AB = AC \) в равнобедренном треугольнике), \( ∠MB N = ∠P AN \) (как соответственные углы при параллельных \( NP \) и \( AB \) и секущей \( AC \)), \( ∠BMN = ∠APN \) (как накрест лежащие углы при параллельных \( MN \) и \( AC \) и секущей \( AB \)).

Следовательно, \( Δ MBN = Δ APN \) по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что \( MN = NP \).

Так как \( MN = NP \) и \( NP ′′ AB \), то \( MN = \frac{1}{2} AB \) и \( MN ′′ AB \).

3. Задача.

(Задача не предоставлена в изображении.)