Билет №8. 1. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника. 2. Свойства параллельных прямых. Доказательство одного из них. 3. Задача.

Билет №8.

1. Соотношение между сторонами и углами треугольника:

   В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.

   Неравенство треугольника:

   Теорема: Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

   Для треугольника со сторонами \( a, b, c \) выполняются неравенства:

   \( a + b > c \)

   \( a + c > b \)

   \( b + c > a \)

2. Свойства параллельных прямых:

   Теорема (признак параллельности прямых): Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то эти прямые параллельны.

   Доказательство:

   Пусть даны прямые \( a \) и \( b \), и секущая \( c \). \( ∠ 1 \) и \( ∠ 2 \) — односторонние углы, \( ∠ 1 + ∠ 2 = 180^\circ \). Угол \( ∠ 3 \) смежный с \( ∠ 1 \), поэтому \( ∠ 3 = 180^\circ - ∠ 1 \). Так как \( ∠ 1 + ∠ 2 = 180^\circ \), то \( ∠ 3 = ∠ 2 \). Углы \( ∠ 3 \) и \( ∠ 2 \) являются накрест лежащими при пересечении прямых \( a \) и \( b \) секущей \( c \). Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( a \) и \( b \) параллельны.

3. Задача: (Требуется условие задачи)