Билет №20. 1. Объясните, как построить биссектрису данного угла. 2. Доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 3. Неравенство треугольника.

Билет №20

1. Построение биссектрисы угла:
• От вершины угла A проведите дугу окружности, пересекающую стороны угла в точках B и C.
• Из точек B и C проведите дуги окружностей одинакового радиуса, пересекающиеся во внутренней области угла (точка D).
• Проведите луч AD. Это и будет биссектриса угла.
2. Доказательство:
• Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, а BD — высота, проведенная к основанию.
• Рассмотрим треугольники ABD и CBD.
• AB = CB (по условию, так как треугольник равнобедренный).
• ∠ADB = ∠CDB = 90° (по условию, так как BD — высота).
• BD — общая сторона.
• По двум катетам (или по гипотенузе и острому углу, так как ∠BAD = ∠BCD), треугольники ABD и CBD равны.
• Из равенства треугольников следует:
• AD = CD (BD — медиана).
• ∠ABD = ∠CBD (BD — биссектриса).
• Таким образом, высота BD является и медианой, и биссектрисой.
3. Неравенство треугольника: Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.
• Пусть стороны треугольника равны a, b, c. Тогда:
• \( a + b > c \)
• \( a + c > b \)
• \( b + c > a \)