Билет 5. 2. Докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Краткое пояснение:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно и медианой, и высотой. Это свойство помогает упростить многие геометрические задачи.

Пошаговое решение:

1. Дано: Треугольник ABC — равнобедренный с AB = BC. BD — биссектриса угла ABC.
2. Доказать: BD является медианой (AD = DC) и высотой (BD ⊥ AC).
3. Доказательство:
   • Рассмотрим треугольники ABD и CBD.
   • AB = CB (по условию, т.к. треугольник равнобедренный).
   • ∠ABD = ∠CBD (по условию, т.к. BD — биссектриса).
   • BD — общая сторона.
   • По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники ABD и CBD равны.
   • Из равенства треугольников следует, что AD = CD (BD — медиана) и ∠BDA = ∠BDC.
   • Так как ∠BDA и ∠BDC — смежные углы, их сумма равна 180°. Следовательно, ∠BDA = ∠BDC = 180° / 2 = 90°.
   • Значит, BD ⊥ AC (BD — высота).

Теорема доказана.