Билет 5. 2. Докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника:

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

Доказательство:

1. Дано: Треугольник ABC, AB = BC (равнобедренный), BD — биссектриса (угол ABD = углу CBD).
2. Доказать: BD — медиана (AD = DC), BD — высота (угол BDA = 90°).
3. Доказательство:
• Рассмотрим треугольники ABD и CBD.
• AB = BC (по условию).
• Угол ABD = Угол CBD (по условию, BD — биссектриса).
• BD — общая сторона.
• По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), треугольники ABD и CBD равны.
• Из равенства треугольников следует, что AD = DC (BD — медиана) и угол BDA = угол BDC.
• Так как углы BDA и BDC — смежные, их сумма равна 180°.
• Следовательно, 2 * Угол BDA = 180°, откуда Угол BDA = 90° (BD — высота).

Что и требовалось доказать.