Билет 6. 2. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. Докажите следствия из аксиомы параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (по Евклиду):

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых:

Следствие 1:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Доказательство:

1. Пусть прямые a и b параллельны (a || b), и секущая c пересекает их.
2. Пусть ∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы.
3. Пусть через точку пересечения прямой b и секущей c проведена прямая d, параллельная прямой a.
4. По аксиоме параллельных прямых, прямая d совпадает с прямой b.
5. Углы между прямой d и секущей c (соответствующие ∠1) равны.
6. Сумма внутренних односторонних углов (между прямой d и секущей c) равна 180°.
7. Следовательно, ∠1 + ∠2 = 180°.

Следствие 2:

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны и между собой.

Доказательство:

1. Пусть a || c и b || c.
2. Предположим, что прямые a и b не параллельны, а пересекаются в некоторой точке M.
3. Тогда через точку M проходят две прямые (a и b), параллельные прямой c, что противоречит аксиоме параллельных прямых.
4. Следовательно, a || b.