10) Биссектрисы АЕ и СМ внешних углов при вершинах А и С треугольника АВС параллельны его сторонам ВС и АВ. Докажите, что треугольник АВС равносторонний

Пусть ∠BAC = α, ∠BCA = γ. Внешний угол при вершине A равен 180° - α, а внешний угол при вершине C равен 180° - γ. Так как AE - биссектриса внешнего угла при вершине A, то угол между AE и AC равен (180° - α)/2 = 90° - α/2. Аналогично, угол между CM и AC равен (180° - γ)/2 = 90° - γ/2. Так как AE || BC, то угол между BC и AC равен углу между AE и AC, то есть ∠BCA = 90° - α/2, следовательно γ= 90° - α/2, отсюда α = 180 - 2γ. Аналогично, CM || AB, значит, угол между BA и AC равен углу между CM и AC, то есть ∠BAC= 90° - γ/2, следовательно α = 90° - γ/2, отсюда γ = 180 - 2α. Подставим γ = 180-2α в α = 90 - γ/2, получаем α = 90 - (180-2α)/2, α = 90 - 90 + α, 0 = 0. Доказать, что треугольник равносторонний невозможно, недостаточно данных.