7. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 11.

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 11.

Обозначим биссектрисы углов A и D как AM и DM соответственно.

Пусть угол A = α, тогда угол DAM = ∠BAM = α/2.

Пусть угол D = β, тогда угол ADM = ∠CDM = β/2.

Так как AD || BC, угол A + угол D = 180°, α + β = 180°.

В треугольнике AMD угол AMD = 180° - ∠DAM - ∠ADM = 180° - α/2 - β/2 = 180° - (α + β)/2 = 180° - 180°/2 = 180° - 90° = 90°.

Рассмотрим биссектрису AM. Угол BAM = углу AMD = α/2, поскольку AD || BC. Значит, треугольник ABM равнобедренный, AB = BM = 11.

Рассмотрим биссектрису DM. Угол ADM = углу DMC = β/2, поскольку AD || BC. Значит, треугольник CDM равнобедренный, CD = CM.

По условию AB = 11, следовательно, CD = 11, так как в параллелограмме противоположные стороны равны.

Значит, CM = 11.

Так как BC = BM + MC = 11 + 11 = 22.

AD = BC = 22.

Периметр параллелограмма ABCD: P = 2(AB + BC) = 2(11 + 22) = 2(33) = 66.

Ответ: 66.