9. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60° и МА = 9.

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найти расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 60° и MA = 9.

Так как MA и MB - касательные к окружности, углы OAM и OBM - прямые.

Рассмотрим треугольник AOM, он прямоугольный. ∠OAM = 90°, следовательно,

$$\tan \angle AMO = \frac{AO}{AM}$$

Так как AO = BO, треугольники AOM и BOM равны по гипотенузе и катету. Тогда углы AOM и BOM равны, и MO - биссектриса угла AOB. ∠AOM = 60°/2 = 30°.

$$\frac{AO}{AM} = \tan 30°$$

$$\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$AO = AM \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$

Тогда радиус окружности OA = OB = 3√3.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как AO = BO. Угол AOB = 60°, следовательно, углы OAB и OBA тоже равны 60°. Значит, треугольник AOB - равносторонний. Следовательно, AB = AO = BO = 3√3.

Ответ: $$3\sqrt{3}$$.