4. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и У, АХ = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 8.

В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 8.

Треугольник ABX равнобедренный, так как AX = BX. Угол BAX = углу ABX. Пусть ∠BAX = ∠YAX = α.

Угол ABC = угол ACB = 75°, так как AB = AC.

Тогда ∠BAC = 180° - 75° - 75° = 30°.

Следовательно, α = 30°/2 = 15°.

Тогда ∠ABX = 15°, ∠AXB = 180° - 15° - 15° = 150°.

Угол BXA + угол AXC = 180°

Угол AXC = 180° - 150° = 30°.

Рассмотрим треугольник AXY. ∠XAY = 15°.

Заметим, что треугольники ABX и AXY подобны. Следовательно, ∠ABX = ∠AXY = 15°.

По теореме синусов в треугольнике AXC:

$$\frac{AX}{\sin C} = \frac{AC}{\sin AXC} = \frac{XC}{\sin XAC}$$

$$AX = 8, \angle C = 75, \angle AXC = 30, \angle XAC = 180 - 75 - 30 = 75$$

Значит, треугольник AXC равнобедренный и AX = XC = 8.

В треугольнике ABX ∠ABX = ∠BAX = 15° и ∠AXB = 150°.

Так как AX=BX, треугольник ABX равнобедренный.

∠ABC = ∠ACB = 75°.

∠BAC = 180° - 75° - 75° = 30°.

∠BAX = ∠XAY = 30°/2 = 15°.

В треугольнике ABX ∠ABX = 15° => ∠BXA = 180° - 15° - 15° = 150°.

∠AXC = 180° - 150° = 30° => треугольник AXC - равнобедренный (∠XAC = 75° = ∠C) => AX = XC = 8.

Треугольник AXY не определен.

Замечание: в этой задаче невозможно определить AY.

Обозначим ∠AYA = α. Тогда ∠YAX = 15°, а ∠AYA = ∠AYA = (180 - 15)/2 = 82,5°.

Ответ: невозможно определить AY.