8. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные АМ и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 120° и МО = 8.

Из точки M к окружности с центром O проведены касательные AM и MB. Найти расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB = 120° и MO = 8.

AM и MB - касательные к окружности, следовательно, углы OAM и OBM - прямые, то есть равны 90°.

Так как AO = BO (радиусы), треугольники AOM и BOM равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOM и BOM равны и MO - биссектриса угла AOB. Тогда ∠AOM = 120°/2 = 60°.

Из прямоугольного треугольника AOM можно найти радиус OA:

$$\sin \angle AMO = \frac{AO}{MO}$$

$$\sin 60° = \frac{AO}{8}$$

$$AO = 8 \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, AO = BO (радиусы). Угол AOB = 120°. Тогда угол OAB = углу OBA = (180° - 120°)/2 = 30°.

По теореме косинусов:

$$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2AO \cdot BO \cdot \cos \angle AOB$$

$$AB^2 = (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \cdot \cos 120°$$

$$AB^2 = 48 + 48 - 2 \cdot 48 \cdot (-1/2) = 96 + 48 = 144$$

$$AB = \sqrt{144} = 12$$

Ответ: 12.