1. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 8√2.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и BC, где AC - биссектриса угла A, ∠A = 45° и BC = 8√2. Так как AC - биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45°/2 = 22.5°. Так как трапеция прямоугольная, ∠B = ∠C = 90°.

Проведем высоту CH к основанию AD. Тогда CH = AB. Так как ABCD - прямоугольная трапеция, то ∠B = 90°. Следовательно, треугольник ABC - прямоугольный. Отсюда ∠ACB = 90° - ∠BAC = 90° - 22.5° = 67.5°.

Рассмотрим треугольник ACH. Так как ∠CHA = 90°, то ∠CAH = 45°. Значит, треугольник ACH - прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, CH = AH.

Пусть AD = x. Тогда AH = AD - HD = x - 8√2. Так как CH = AH, то CH = x - 8√2.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как ∠ABC = 90°, то AB = CH = x - 8√2.

В прямоугольном треугольнике ABC:

$$tg \angle BAC = \frac{BC}{AB}$$

$$tg 22.5° = \frac{8\sqrt{2}}{x-8\sqrt{2}}$$

Известно, что $$tg 22.5° = \sqrt{2} - 1$$. Следовательно,

$$\sqrt{2} - 1 = \frac{8\sqrt{2}}{x-8\sqrt{2}}$$

$$(\sqrt{2} - 1)(x - 8\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$$

$$x - 8\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$$

$$x - 8\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$$

$$x - 8\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1}$$

$$x - 8\sqrt{2} = 8\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$$

$$x - 8\sqrt{2} = 16 + 8\sqrt{2}$$

$$x = 16 + 8\sqrt{2} + 8\sqrt{2}$$

$$x = 16 + 16\sqrt{2}$$

Итак, AD = 16 + 16√2.

В прямоугольной трапеции ABCD диагональ BD равна диагонали AC. Чтобы найти длину AC:

$$AC = \frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin 22.5°}$$

Однако, это не требуется для решения задачи.

Проведем диагональ BD. Так как трапеция прямоугольная, BD можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника ABD:

$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(x - 8\sqrt{2})^2 + x^2}$$

$$BD = \sqrt{(16 + 16\sqrt{2} - 8\sqrt{2})^2 + (16 + 16\sqrt{2})^2}$$

$$BD = \sqrt{(16 + 8\sqrt{2})^2 + (16 + 16\sqrt{2})^2}$$

$$BD = \sqrt{256 + 256\sqrt{2} + 128 + 256 + 512\sqrt{2} + 512}$$

$$BD = \sqrt{1152 + 768\sqrt{2}}$$

$$BD = \sqrt{256(4.5 + 3\sqrt{2})}$$

$$BD = 16\sqrt{\frac{9}{2} + 3\sqrt{2}}$$

Диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Так как сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°, то угол A + угол B = 180°, следовательно, угол B = 135°. Поскольку ABCD - прямоугольная трапеция, угол D = 90°, тогда угол C = 90°.

В прямоугольной трапеции ABCD имеем AD || BC, AB ⊥ AD и AB ⊥ BC, угол A = 45°. Так как AC - биссектриса угла A, то угол BAC = 45°/2 = 22.5°.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол B = 90°) имеем угол ACB = 90° - 22.5° = 67.5°.

Пусть BD = x. Тогда BD = AC, так как диагонали прямоугольной трапеции, у которой диагональ является биссектрисой острого угла, равны. Следовательно, AC = x.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме синусов:

$$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$$

$$\frac{8\sqrt{2}}{\sin 22.5°} = \frac{x}{\sin 90°}$$

$$x = \frac{8\sqrt{2}}{\sin 22.5°}$$

$$\sin 22.5° = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$$

$$x = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}$$

$$x = \frac{16\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}} = \frac{16\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 - 2}} = \frac{16\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2 + \sqrt{2}}$$

Ответ: $$16\sqrt{2 + \sqrt{2}}$$.