2. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 16, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 4/7.

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, диагональ BD = 16, угол A = 45°, BC = 4√7.

Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда AB = DH. Так как трапеция прямоугольная, ∠A = 45°, следовательно, треугольник ABH - прямоугольный и равнобедренный. Значит, AH = BH = x.

Рассмотрим треугольник ABH:

$$tg A = \frac{BH}{AH} = \frac{x}{x} = 1$$

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$AB = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD:

$$BD^2 = BH^2 + HD^2$$

$$16^2 = x^2 + HD^2$$

$$HD = AB = x\sqrt{2}$$

$$256 = x^2 + x^2(2) = 3x^2$$

$$x^2 = \frac{256}{3}$$

$$x = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

Тогда AB = $$x\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{6}}{3}$$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD. ∠A = 45°. Тогда AD - большее основание.

$$AD = AH + HD = x + BC = \frac{16\sqrt{3}}{3} + 4\sqrt{7}$$

Ищем большую боковую сторону CD.

Проведем CK перпендикулярно AD. Тогда AKCD - прямоугольник. KD = AC.

$$CD = \sqrt{CK^2 + KD^2}$$

$$CK = AB = \frac{16\sqrt{6}}{3}$$

$$AD = BC + AH = 4\sqrt{7} + \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

$$HD = CD$$

В этой задаче недостаточно данных, чтобы однозначно определить большую боковую сторону CD.

Сделаем чертеж:

      B-------C
     /|      |
    / |      |
   /  |      |
  A---H------D

Здесь AH = HD, так как угол A равен 45°. Также, BH = AH, так как ABH - прямоугольный равнобедренный треугольник.

Так как BC = 4√7, а BH = (16√3)/3, то:

$$CD = \sqrt{AB^2 + (AD-BC)^2}$$

$$CD = \sqrt{(\frac{16\sqrt{6}}{3})^2 + (\frac{16\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{7} - 4\sqrt{7})^2}$$

$$CD = \sqrt{\frac{256 \cdot 6}{9} + (\frac{16\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{\frac{1536}{9} + \frac{256 \cdot 3}{9}} = \sqrt{\frac{1536 + 768}{9}} = \sqrt{\frac{2304}{9}} = \sqrt{256} = 16$$

Ответ: 16.