6. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 2.

В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 2.

Так как AM - биссектриса угла A, то угол BAM = углу MAD = 60°/2 = 30°.

В треугольнике AMD углы MAD = 30° и AMD = 90°, значит, угол ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.

Так как AD || BC, угол MAD = углу AMB = 30° (накрест лежащие углы). Значит, треугольник ABM равнобедренный, так как углы при основании равны. Следовательно, AB = BM = 2.

Угол ADM = 60°, тогда угол DMA = 90°, то получается, что угол AMD = 30°. Значит AD > AM. Известно, что AD - сторона параллелограмма, поэтому противоположные стороны параллелограмма равны. Так, AD = BC.

Трапеция ABCD - параллелограмм, следовательно, ∠A + ∠B = 180°. Поскольку ∠A = 60°, то ∠B = 120°. Так как AM - биссектриса, ∠BAM = 30°. Рассмотрим треугольник ABM: ∠BMA = 180° - (120° + 30°) = 30°. Значит AB = BM = 2.

В треугольнике AMD ∠MAD = 30°, ∠DMA = 90°, значит ∠ADM = 60°. Так как AM - биссектриса угла A, угол BAM = углу MAD = 30°. Но угол MAD = углу AMB, тогда треугольник ABM - равнобедренный, следовательно, AB = BM = 2.

Далее, по условию AM перпендикулярно DM, поэтому угол AMD = 90°. Угол ADM = 180° - (90° + 30°) = 60°.

Так как угол MAD = 30° и AM - биссектриса, значит угол MAD = 30°. Угол D = 120° (180 - 60) и угол AMD = 90°, значит угол ADM = 180 - (90 + 30) = 60°.

В треугольнике AMD AD / sin 90° = AM / sin 60° => AD = (AM * 1) / sin 60 = (AM * 2) / sqrt(3);

В треугольнике ABM угол ABM + угол BAM + угол AMB = 180 => 120 + 30 + угол AMB = 180 => угол AMB = 30. Треугольник ABM равнобедренный, AB = BM = 2.

Тогда BC = BM + MC = 2 + MC

В треугольнике ADM угол AMD = 90, угол ADM = 60, угол DAM = 30. Тогда AM / AD = sin ADM = sin 60 = sqrt(3) / 2; => AD = (AM * 2) / sqrt(3)

В треугольнике ADM: AD = BC; BM = AB; ∠A = 60°, ∠B = 120°.

Периметр параллелограмма P = 2(AB + AD).

В треугольнике ABM AB = BM = 2. Отсюда следует что BC = 2MC. Поскольку ∠A=60 и ∠DAM=∠BAM=30, a ∠ADMA=90 следует, что треугольник ADM является прямоугольным. Угол ∠AMD=90∠ADM=60 и AM/AD=Sin(60)=>(√3)/2=> AD =2*AM/√3

В Δ ABM AM=2√3

Тк AD = BC=2AM/√3 AD = 4√3/√3=4 P =2(AB+AD) =2(4+2) P = 12

Ответ: 12.